本笔记的核心问题，在于如何能够理解并能够在实践中运用诸如这样的并不直觉的矢量分析恒等式。

基本内容

这部分内容对后续理解有重要帮助。

混合积

形如的表达式称作混合积。

格外关注混合积的形式不变性。混合积形式可以做非常非常灵活的替换而其结果不变。具体的说，只要三个矢量、、保持相对次序不变，如何进行顺序和运算的轮换，结果都不变。相反的，如果颠倒矢量次序，会产生负号。

记忆方法：把括号外的矢量和括号内较远的矢量点乘起来，所得的项目是正号；另一项是负号。

格外注意：等号右侧所得项同样具备很好的形式不变性。外面的矢量写在左侧或右侧，点乘的两个矢量交换，结果都一致。

梯度场无旋，旋度场无散。

和下面的推导没有关系，只是记在这里。

重点在于把握算符同时具备的微分特性和矢量特性。

首先要关注的是微分特性中的乘法特性。微分算符对乘法作用，会得到两项，分别将其中一项作为常数而对另一项微分。在进行符号运算时，往往先进行这一步。例如：

其中，下标c代表这一项被视作常数，算符不对它进行操作。利用下标c进行这种区分是一个实践上非常有帮助的行为，为后续操作提供很大便利。这一符号引自谢树艺《工程数学·矢量分析与场论》。

接下来的步骤是化简。我们要灵活的运用

算符的矢量性，对已经拆开的等式右侧的每项进行等价操作。其核心原则是：

让带有下标c的量移动到

算符作用范围外侧（或者说，它的左侧），让无下标的量移动到它的右侧。

这种移动的具体实现较为灵活。在这里举例说明：

例1：第式。第式中得到了形如的项。它形式类似混合积。利用混合积的形式不变性对它进行移动。考虑交换和注意次序改变带来的变号：

这就实现了上文所说的化简的核心原则。对于已经在作用范围外的含c符号，我们可以去除作为标记的c，得到最终结果。对式的另一项也如法炮制，最终得到：

例2：第式。上一步已得到形如的项。这是矢积。可以用矢积公式将其打开（注意下面的公式尚未进行顺序变换，其仅做形式示意）：

其中第一项已经符合我们的核心原则，但第二项还没有。利用先前提到的矢积所得项的形式不变性，可以将其调整为。这样我们的核心原则就得到满足了。对剩余的另一项进行同样操作，即可得到第式的完整表达式。

例3：第式。所得项类似矢积公式中右侧的项。考虑通过凑配将其写为矢积。这里不再赘述。

使用这一套流程，就可以不费太大力气的推导一些相关恒等式，可以减轻记忆负担。

补充还有一个恒等式和张量相关：

还没学到。先放上结论占坑。